1. Чтобы был правильный домен для почты надо добавить в настройках почты обслуживание виртуального домена name.ru , это не связано с внутренним доменом name.lan, таким образом можно обслуживать много доменов
2. Чтобы пользователь мог через нужный домен высылать ему надо ящик сделать в нужном домене (вроде логично). Вы поспешили и основной адрес вбили локального домена, поэтому надо или переделывать на правильный или снижать уровень безопасности чтобы можно было из любого акка слать под именем любого акка (но это так себе вариант), или можно через вебпочту слать с имени псевдонима (в настройках пользователя добавить альяс почты, в настройках вебпочты добавить псевдоним). Я бы заново сделал правильно раз уж вышел такой косяк.
3. Чтобы почта выходила надо или использовать внешним МТА который будет не против, или надо настоить ПТР, МХ и всё такое по вкусу и будет работать. При этом надо понимать что ваш сервер почту по любому вышлет, но без настройки зоны мир не захочет эту почту принимать.
3а. Вообще если уж настроить правильно внешнюю зону, чтобы почта выходила, то зачем тогда вообще нужен мэйл.ру?! Можно принимать сразу на свой почтовик.
Как вариант можно в аутлуке каждого клиента настроить отправку через мэйл.ру, но будет отправлять соответственно от имени мэйл.ру. В обратном адресе можно указать куда отвечать. Колхоз конечно, но работать будет.